Axioma
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Un axioma (/ak'sioma/), en epistemolochía, ye una "verdat evident" que no requiere contrimuestra, pues se chustifica ella mesma, y sobre a cual se construi a resta de conoiximientos por meyo d'a deducción. Cal decir que no toz os epistemologos son d'alcuerdo con ista definición "clasica". L'axioma se fundamenta en él mesmo, mientres que os postulaus y conclusions posteriors se deducen a partir d'iste.
En matematica, un axioma no ha d'estar necesariament una verdat evident, sina una expresión lochica emplegada en una deducción ta plegar en una conclusión.
Etimolochía
A palabra axioma promana d'o griego αξιωμα (axioma), que significa "o que pareix chusto", ye decir ixo que ye considerau evident y sin necesidat de contrimuestra. A palabra tien o suyo orichen en o griego αξιοειν (axioein) que significa "valurar", y ista promana de αξιος (axios) que significa "valido" u "digno". Entre os antigos filosofos griegos, un axioma yera o que pareixeba estar verdadero sin amenistar contrimuestra.
Lochica
A lochica de l'axioma pende en partir d'una premisa calificada como verdadera por ella mesma (l'axioma) y inferir sobre ista atras proposicions por meyo d'o metodo deductibo, obtenendo conclusions coherents con l'axioma. Os axiomas d'una teoría han de cumplir nomás un requisito: d'ellos han de poder deducir-se todas as demás proposicions d'a teoría dada.
Limitacions
Kurt Gödel contrimostró meyau o sieglo XX que os sistemas axiomaticos de cierta complexidat, por definius y consistents que sigan, tienen importants limitacions. En tot sistema d'una cierta complexidat, siempre i habrá una proposición P que siga verdadera, pero no contrimostrable. De feito, Gödel contrimostra que, en cualsiquier sistema formal que incluiga l'aritmetica, puet formar-se una proposición P que afirme que iste enunciau no ye contrimostrable. Si se podese contrimostrar P, o sistema sería contradictorio, y alavez no sería consistent. Por tanto, o enunciau P no ye contrimostrable. Y ixo contrimuestra que P ye verdat.
Matematicas
En lochica matematica, un axioma no ye necesariament una verdat evident, sino una expresión lochica emplegada en una deducción ta plegar en una conclusión. En matematica se gosa distinguir dos tipos d'axiomas: os axiomas lochicos y os axiomas no-lochicos.
Axiomas lochicos
Istas son bellas formulas en un luengache que son validas universalment, ye decir, formulas que son satisfeitas por cualsiquier estructura y por cualsiquier función variable, en terminos coloquials, istos son enunciaus que son verdaders en cualsiquier universo posible, baixo cualsiquier entrepitación posible y con cualsiquier asignazión de valuras. Por un regular se prene como axiomas lochicos un conchunto minimo de tautolochías que siga prou ta contrimostrar todas as tautolochías en o luengache.
Eixemplos
En o calculo proposicional ye común prener como axiomas lochicos todas as formulas siguients, an que , , y pueden estar cualsiquier formula en o luengache:
Cadaguno d'istos patrons ye un esquema d'axiomas, una regla ta chenerar un numero infinito d'axiomas. Por eixemplo, si , , y son variables proposicionals, alavez y son instancias d'o esquema 1 y por ixo mesmo, son axiomas. Se puet contrimostrar que nomás con istos tres esquemas d'axiomas y a regla d'inferencia modus ponens, se pueden contrimostrar todas as tautolochías d'o calculo proposicional. Tamién se puet prebar que garra parella d'istos esquemas ye prou ta contrimostrar todas as tautolochías emplegando o modus ponens. Iste conchunto d'esquemas axiomaticos tamién se fa servir en o calculo de predicaus pero son necesarios mas axiomas lochicos.
Eixemplo: Siga un luengache de primer orden. Ta cada variable , a formula ye valida universalment.
Isto significa que, ta cualsiquier simbolo variable , a formula puet considerar-se como un axioma. Ta no cayer en a vaguedat u en una serie sin fin de "nocions primitivas", en primerías s'amenista bien una ideya d'o que queremos decir con u definir un uso purament formal y sintactico d'o simbolo , y de feito, a lochica matematica lo fa.
Eixemplo: Atro eixemplo intresant, ye o d'a instanciación universal. Ta una formula en un luengache de primer orden , una variable y un termino que ye sustituible por en , a formula ye valida universalment.
En termins informals, iste eixemplo nos permite afirmar que si conoixemos que una cierta propiedat se cumple ta cualsiquier y que si tiene un obchecto particular en a nuestra estructura, alavez habríanos de poder afirmar .
Axiomas no-lochicos
Os Axiomas no-lochicos son formulas especificas d'una teoría y s'aceptan nomás por alcuerdo. Cuan se razona arredol de dos estructuras diferents, por eixemplo, os numeros naturals y os numeros enters se puet embrecar os mesmos axiomas lochicos, manimenos, os axiomas no-lochicos capturan o que ye especial de cada estructura particular (u conchunto d'estructuras). Por ixo, os axiomas no-lochicos, a diferencia d'os axiomas lochicos, no son tautolochías. Atro nombre que se gosa dar ta os axiomas no-lochicos ye postulau.
Cuasi cualsiquier teoría matematica moderna se basa en un conchunto d'axiomas no-lochicos. En primerías se pensaba que cualsiquier teoría podría axiomatizar-se y formalizar-se, pero dimpués se contrimostró que no.
En a parla matematica a ormino se gosa parlar d'os axiomas no-lochicos simplament como axiomas, pero isto no significa que sigan verdaders en un sentiu absoluto. Por eixemplo, en bels grupos, una operación puet estar commutativa y isto se puet afirmar incluyindo un axioma adicional, pero no ye necesario ta desembolicar a teoría de grupos y mesmo se puet prener a suya negación como un axioma ta estudiar os grupos no-conmutativos.
Un axioma ye l'elemento basico d'un sistema de lochica formal y, de conchunta con as reglas d'inferencia definen un sistema deductivo.