Numero primero

Sistema de numers en matematicas

Conchuntos de numers

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ naturals ℕ negativos enters ℤ racionals ℚ irracionals reals ℝ complexos ℂ

Numers destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i := $\sqrt{-1}$

Numers con propiedatz destacables

Primers $\mathbb{P}$, abundants, amigos, compuestos, defectivos, perfectos, sociables, alchebraicos, transcendents

Estensions d'os numers complexos

bicomplexos hipercomplexos Quaternions $\mathbb{H}$ octonions $\mathbb{O}$ septenions super-reals hiper-reals sub-reals

Numers Especials

Nominals Ordinals {1er, 2ndo, ...} (d'orden) Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$ Sinfinito $\infty$ Numers sinfinitos Numers transfinitos

Altros numers importants

Sequencia d'enters Constants matematicas Listau de numers Numers grans

Sistemas de numeración

Arabe, armenia, atica (griega), babilonica, cirilica, echipciana, etrusca, griega, hebrea, india, chonica (griega), chaponesa, khmer, maya, romana, tailandesa, chinesa. Numerals en base constant: binario (2) quinario (5) octal (8) decimal (10) duodecimal (12) hexadecimal (16) vichesimal (20) sexachesimal (60)

Os numers primers son un subconchunto d'os numers naturals que complega totz os elementos d'iste conchunto que nomás tienen un unico divisor diferent a la unidat. Os primers vinte numers primers son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71.

Note-se que totz os numers naturals son divisibles por els mesmos y por a unidat.

O numero primero más chicot ye o 2 y, de feito, ye o unico numero primero que ye tamién par, ya que qualsiquier par más gran ye multiple de dos.

O teorema fundamental de l'aritmetica estableix que qualsiquier entero positivo superior a 1 puet representar-se siempre como un producto de numers primers, y ista representación (factorización) ye unica. O teorema d'Euclides contrimuestra que existen sinfinitos numers primers. Amás se sabe que no i hai garra limite t'a distancia entre dos primers consecutivos, ye decir, dau un numero N, se puede trobar dos numers primers a y b tals que entre a y b no n'i aiga d'atros. Encara no s'ha puesto prebar, pero ye conchectura, que existen sinfinitos numers primers d'a forma p₁ = p₂ + 2 (estando p₁ y p₂ primers) u primers bezons. Sí que s'ha contrimostrau que os unicos primers trichemins (primers d'a forma p₁ = p₂ + 2 i p₂ = p₃ + 2) son 3, 5 y 7.

Contrimuestra d'a infinitut d'os numers primers

A primera contrimuestra d'a infinitut d'os numers primers la proporciona Euclides en o libro IX d'os suyos Elementos. Ye un clasico eixemplo de contrimuestra por reducción a l'absurdo:

Suposemos que existe un numero finito de primers, y que P ye o más gran d'els. Construyimos alavez o numero (2·3·5·7·11·...·P) + 1, ye decir, o producto de totz os numers primers más uno. Iste numero no ye divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni, a la finitiva, por garra numero primero, porque en totz os casos a división da 1 como resta. Por ixo nomás puet estar que P siga primero u que que siga divisible por unatro numero primero que se trobe entre P i (2·3·5·7·11·...·P) + 1; en qualsiquiera d'os casos hemos trobau un numero primero más gran que P, contradecindo a suposición inicial y, per ixo mesmo, contrimostrando o teorema.

Clases de primers

• Numero primero de Mersenne (de forma M_p = 2^p - 1 an que p ye primer)

• Numero primero de Sophie Germain (un p primero tal que 2p + 1 ye primero)

• Numers primers bezons (p y p + 2 primers)

• Numero primero de Fermat (de forma $2^{2^{n}} + 1$)

Aplicacions

D'entre muito tiempo, a teoria de numers en cheneral, y o estudeo d'os numers primers en particular, yeran vistos como o eixemplo canonico d'as matematicas puras, sin d'aplicacions difuera d'o propio intrés d'estudiar o tema. En particular, teoricos de numers como o matematico britanico G. H. Hardy se feban argüellosos de fer una faina que no teneba brenca d'importancia melitar. Entremistanto, ista visión quedaba esmicazada en os anyos 1970 quan s'anunciaba publicament que os numers primers se podrían fer servir como a base t'a creyación d'algorismos de criptografía de clau publica. Os numers primers tamién s'emplegan ta construir as tablas hash y os cheneradors de numers pseudoaleatorios.

Quan se disenyan engranaches os numers de dients d'as ruedas dentadas se mira de trigar-los que sigan numers primers u parellas de numers primers entre els. D'ista traza cada dient d'una d'as ruedas entra en contacto un mesmo numero de vegadas con cadagún d'os dients de l'atra rueda y o desgaste ye uniforme.

Criptografía de clau publica

Ta más detalles, veyer l'articlo criptografía de clau publicaveyer os articlos [[{{{2}}}]] y [[{{{3}}}]]veyer os articlos [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] y [[{{{6}}}]]veyer os articlos [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] y [[{{{10}}}]].

L'algorismo RSA se basa en a obtención d'a clau publica por meyo d'a multiplicazcón de dos numers grans (más grans que 10¹⁰⁰) que sigan primers. A seguridat d'iste algorismo s'alaceta en o feito que no i hai trazas rapedas de factorizar un numero gran en os suyos factors primers emplegando ordenadors tradicionals. A computación quantica podría furnir en o futuro una solución a iste problema de factorización.

Os primers de Mersenne se troban entre os más grans conoixius (2^43112609-1, de doce millons nueucientos mil dichitos, ye dica setiembre de 2008 o más gran d'os conoixius).

Contino s'amuestra un eixemplo de función sencilla en C++ ta trobar si un numero ye primero u no:

bool ye_primero(int n) {
   if(n <= 1) return false;
   for(int i = 2; i*i <= n; ++i){
       if(n % i == 0) return false;    
   }
   return true;
}

Se veiga tamién

• Tabla de divisors
• Numers primers de l'1 dica o 100000