Numero e

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  • π ≈ 3,14159265...
  • e ≈ 2,7182818284...
  • Φ ≈ 1,6180339887...
  • i := \sqrt{-1}
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A constant matematica e u numero e (tamién conoixida como constant d'Euler, en honor d'o matematico suizo Leonhard Euler u constant de Napier, en honor d'o matematico escocés John Napier) ye a base d'os logaritmos naturals.

O numero e ye igual a exp(1), a on que exp() ye a función exponencial. Corresponde a lo limite matematico

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Iste limite existe, pus a succesión n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n ye creixient y amugada por alto. A valura aproximada de e ye = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

Tamién se puet definir o numero e con a serie infinita:

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots

a on n! ye o factorial de n. Ista serie tamién converche pus se tiene que

1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,

ye decir, o desembolique en serie de e ye mayorau por una serie cheometrica converchent (de razón 1/2).

Finalment, se puet definir e como a unica solución positiva x d'a ecuación integral

\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

Se puet contrimostrar que istas definicions son equivalents.

A función exponenzial [exp(x)] ye important porque ye a unica función que ye igual a la suya derivada y se fa servir a ormino ta modelizar procesos de creiximiento y mingua.

A fracción contina de e tamién tiene una estructura intresant, como s'amuestra contino:

 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,

A siguient expresión, dita a identidat d'Euler, relaciona as cinco constants más importants en matematicas y estió trobada por Leonhard Euler:

e^{i\pi}+1=0 \,\!

Ye un caso particular (con x = 0 e y = π) d'a formula d'Euler:

e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y )

conforme ta qualsiquier x,y\in{\mathbb R} (y mesmo ta x,y\in{\mathbb C}).

Ye bien conoixiu que e ye irracional y trascendent.