Multiplicación

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Propiedat commutativa:
3 × 4 = 12 = 4 × 3
dotze elementos pueden estar ordenatos en tres filas de quatre, u quatre columnas de tres.

A multiplicación ye una operación aritmetica de composición en a que se suma reiteradament a primera cantidat tantas vegatas como indica a segunda. Asinas, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. A multiplicación ye asociata a o concepto de aria cheometrica.

O resultato d'a multiplicación de quantos numeros se diz producto. Os numers que se multiplican se dicen factors u coeficients, y individualment: multiplicando (numero a sumar) y multiplicador (vegatas que se suma o multiplicando). Encara que ista diferenciación en bells contextos puet estar superflua quan en o conchunto a on sía definito o producto se tien a propiedat commutativa d'a multiplicación (por eixemplo, en os conchuntos numericos). Se veiga [1] ta una descusión sobre o tema.

En Alchebra Moderna gosa emplegar-se a denominación cocient u multiplicación con a suya notación habitual "·" ta designar a operación externa en un modulo, ta designar tamién a segunda operación que se define en un aniello (aquella ta la que no ye definido o elemento inverso d'o 0), u ta designar a operación que da a un conchunto estructura de grupo.

Por eixemplo:


   \begin{array}{rrrrr}
        & 1 & 2 \\
      + &   & 4 \\
      \hline
        & 4 & 8 \\
   \end{array}
   \begin{array}{l}
       \longleftarrow multiplicando\\
       \longleftarrow multiplicador de factores\\
       \longleftarrow producto\\
   \end{array}

Notación[editar | editar código]

A multiplicación s'indica con l'aspa × u o punto centrato ·. En ausencia d'istos caracters se gosa emplegar l'asterisco *, mas que mas en informatica (iste uso tien o su orichen en FORTRAN), pero ye desaconsellato en atros ambitos y nomás se be d'emplegar quan no bi ha atra alternativa. A vegatas se fa servir a letra x, pero isto ye desaconsellable porque creya una confusión innecesaria con a letra que por un regular s'asigna a una incognita en una equación. Amás tamién se podría omitir o signo de multiplicación a menos que se multipliquen numers u se pueda chenerar confusión sobre os nombres d'as incognitas, constants u funcions (por eixemplo, quan o nombre de bella incognita tien más d'una letra y podría trafucar-se con o producto d'atras dos). Tamién gosan emplegar-se signos d'agrupación como o parentesis (), gafetz ([]) u claus ({ }). Isto mas que mas s'emplega ta multiplicar numers negativos entre sí u por numers positivos.

Si os factors no s'escriben de traza individual y son definitos aintro d'un vector, se puet escribir o producto por meyo d'una elipsis, ye decir, escribir explicitament os primers termins y os zaguers, u, en caso d'un producto d'infinitos termins (u productos infinitos), nomás os primers, y substituyir a resta por uns puntos suspensivos. Isto ye analogo a lo que se fa con atras operacions aplicatas a infinitos numers (como as sumas). [O producto de infinitos termins se define como o limite d'o producto d'os n primers termins quan n creixe indefinidament].

Asinas, o producto de totz os numers naturales dende l'1 dica o 100 se puet escribir:

1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100

Isto tamién se puet denotar escribindo os puntos suspensivos en a parti meya d'a linia de texto:

1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100

En qualsiquier caso, han d'estar claros qualos son os termins omititos.

Ta rematar, se puet denotar o producto por meyo d'o simbolo productorio, que proviene d'a letra griega Π (Pi mayúscla).

Isto se define asinas:

 \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.

O subendiz i indica una variable que recorre os numers enteros dende un valor minimo (m, indicato en o subendiz) y un valor maximo (n, indicado en o superendiz).

Definición[editar | editar código]

A multiplicación de dos numers enteros n y m s'expresa como:

\sum_{k=1}^n m=mn

Ista no ye más que una traza de simbolizar a expresión "sumar m a sí mesmo n vegata". Puet facilitar a comprensión expandir a expresión anterior:

m \cdot n = m + m + m +...+ m

tal que bi ha n sumandos. Asinas, por eixemplo:

5 \cdot 2 = 5 + 5 = 10
2 \cdot 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4 = 12
m \cdot 6 = m + m + m + m + m + m = 6m

Propiedatz[editar | editar código]

Propiedat commutativa[editar | editar código]

Fendo servir ista definición, ye fácil contrimostrar bellas propiedatz intresants d'a multiplicación. Como indican os dos primers eixemplos, l'orden en que se multiplican dos numers ye irrelevant, lo que se conoixe como propiedat commutativa, y se cumple en cheneral ta dos numers qualsiquiera x y y:

x \cdot y = y \cdot x

Propiedat asociativa[editar | editar código]

A multiplicación también cumple a propiedat asociativa, que diz que, ta tres numers qualsiquiera x, y, z, se cumple:

(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)

En a notación alchebraica, os parentesis indican que as operacions adintro d'os mesmos han d'estar realizatas con preferencia a qualsiquier atra operación.

por eixemplo:

(8 \cdot 3) \cdot 2 = 8 \cdot (3 \cdot 2) \rightarrow 24 \cdot 2 = 8 \cdot 6  \rightarrow  48 = 48

Propiedat distributiva[editar | editar código]

A multiplicación tamién tien lo que se diz propiedat distributiva con a suma, porque:

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z

Asinas tamién:

(x + t) \cdot (y + z) = x \cdot (y + z) + t \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z + t \cdot y + t \cdot z

Elemento neutro[editar | editar código]

También ye d'intrés que qualsiquier numero multiplicato por 1 ye igual a sí mesmo:

1\cdot x = x

ye decir, a multiplicación tien un elemento neutro que ye l'1.

Zero[editar | editar código]

Respective a o zero, a definición inicial \sum_{k=1}^0 1 no aduya muito porque 1 ye mayor que 0. De feito, ye más fácil definir o producto por cero emplegando a segunda definición:

m \cdot 0 = m + m + m +...+ m

a on bi ha zero sumandos. A suma de zero vegatas m ye zero, asinas que

''m'' \cdot 0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sía finito.

Atra posibilidat ye emplegar a propiedat commutativa

m \times 0 = 0 \times m = \sum_{k=1}^1 0 = 0

Conexión con a cheometría[editar | editar código]

Dende un punto d'anvista purament cheometrico, a multiplicación entre 2 valors produce un aria que ye representable. D'a mesma traza o producto de 3 valors produce un volumen igualment representable. Y en cheneral o producto de qualsiquier numero de valors mayors de 0 produce un resultato cheometrico representable sía iste mas u menos intuitivo y mas u menos fácil de representar.

Producto de numers negativos[editar | editar código]

O producto de numers negativos tamién requiere parar cuenta un mica. en primeras, s'ha de considerar o numero -1. Ta qualsiquier entero positivo m:

(-1) \cdot m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Iste ye un resultato intresant que amostra que qualsiquier numero negativo no ye mas que un numero positivo multiplicato por -1. Asinas que a multiplicación d'enters qualsiquiera se puet representar por a multiplicación d'enters positivos y factors -1. L'único que queda por definir ye o producto de (-1)(-1):

(-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1

D'os numers enters a os numers complexos[editar | editar código]

D'ista traza, se define a multiplicación de dos enters. As definicions pueden enamplar-se a conchuntos cada vegata mayors de numers: primero o conchunto d'as fraccions u numers racionals, dimpués a totz os numers reals y ta rematar a os numers complexos y atras extensions d'os numers reals.

Definición recursiva[editar | editar código]

Una definición recursiva d'a multiplicación puet dar-se seguntes istos regles:

''x'' \cdot 0 = 0
''x'' \cdot ''y'' = ''x'' + ''x'' \cdot (''y''-1)

a on que x ye una cantidat arbitraria y y ye un numero natural. Una vegata o producto ye definito ta os numers naturals, se puet enamplar a conchuntos más granes, como ya s'ha dito anteriorment.

Calculo d'un producto[editar | editar código]

  • Consideremos un aniello R y a categoría de R-módulos a cucha. En iste caso a suma dreita existe y ye unica. A construcción se puet fer d'a siguient traza: sía  (A_i)_{i \in I} una familia de R-modulos a cucha, alavez S := \{ (a_i)_{i \in I}: a _i \in A_i y fueras d'un numero finito totz os ai son zero \} y  f_i: A_i \to S ye a inclusión de Ai en a i-ésima coordenata.

A suma d'elementos de S ye coordenata a coordenata y o producto d'un elemento de R por un de S, tamién ye coordenata a coordenata.

  • Un caso particular de l'anterior ye quan R ye cuerpo, ye decir quan somos en a categoría de espacios vectorials sobre un cuerpo dato. En iste caso, dato V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tals que  W \cap U= \{0\} , podemos definir a suma dreita interna, denotata W \oplus U, como o subespacio chenerato por W y U. No ye dificil prebar que iste subespacio ye isomorfo a la suma dreita definita en o punto anterior.

Atros productos[editar | editar código]

Se veiga tamién[editar | editar código]