Multiplicación

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Propiedat commutativa:
3 × 4 = 12 = 4 × 3
doce elementos pueden estar ordenatos en tres filas de cuatre, u cuatre columnas de tres.

A multiplicación ye una operación aritmetica de composición en a que se suma reiteradament a primera cantidat tantas vegatas como indica a segunda. Asinas, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. A multiplicación ye asociata a o concepto de aria cheometrica.

O resultato d'a multiplicación de cuantos numeros se diz producto. Os numeros que se multiplican se dicen factors u coeficients, y individualment: multiplicando (numero a sumar) y multiplicador (vegatas que se suma o multiplicando). Encara que ista diferenciación en bels contextos puet estar superflua cuan en o conchunto a on sía definito o producto se tien a propiedat commutativa d'a multiplicación (por eixemplo, en os conchuntos numericos). Se veiga [1] ta una descusión sobre o tema.

En Alchebra Moderna gosa emplegar-se a denominación cocient u multiplicación con a suya notación habitual "·" ta designar a operación externa en un modulo, ta designar tamién a segunda operación que se define en un aniello (aquella ta la que no ye definido l'elemento inverso d'o 0), u ta designar a operación que da a un conchunto estructura de grupo.

Por eixemplo:

${\begin{array}{rrrrr}&1&2\\+&&4\\\hline &4&8\\\end{array}}{\begin{array}{l}\longleftarrow multiplicando\\\longleftarrow multiplicadordefactores\\\longleftarrow producto\\\end{array}}$

Notación

A multiplicación s'indica con l'aspa × u o punto centrato ·. En ausencia d'istos caracters se gosa emplegar l'asterisco *, mas que mas en informatica (iste uso tien o su orichen en FORTRAN), pero ye desaconsellato en atros ambitos y nomás se be d'emplegar cuan no bi ha atra alternativa. A vegatas se fa servir a letra x, pero isto ye desaconsellable porque creya una confusión innecesaria con a letra que por un regular s'asigna a una incognita en una ecuación. Amás tamién se podría omitir o signo de multiplicación a menos que se multipliquen numeros u se pueda chenerar confusión sobre os nombres d'as incognitas, constants u funcions (por eixemplo, cuan o nombre de bella incognita tien mas d'una letra y podría trafucar-se con o producto d'atras dos). Tamién gosan emplegar-se signos d'agrupación como o parentesis (), gafez ([]) u claus ({ }). Isto mas que mas s'emplega ta multiplicar numeros negativos entre sí u por numeros positivos.

Si os factors no s'escriben de traza individual y son definitos aintro d'un vector, se puet escribir o producto por meyo d'una elipsis, ye decir, escribir explicitament os primers termins y os zaguers, u, en caso d'un producto d'infinitos termins (u productos infinitos), nomás os primers, y substituir a resta por uns puntos suspensivos. Isto ye analogo a lo que se fa con atras operacions aplicatas a infinitos numeros (como as sumas). [O producto de infinitos termins se define como o limite d'o producto d'os n primers termins cuan n creixe indefinidament].

Asinas, o producto de toz os numeros naturales dende l'1 dica o 100 se puet escribir:

$1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100$

Isto tamién se puet denotar escribindo os puntos suspensivos en a parti meya d'a linia de texto:

$1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100$

En cualsiquier caso, han d'estar claros cuals son os termins omititos.

Ta rematar, se puet denotar o producto por meyo d'o simbolo productorio, que proviene d'a letra griega Π (Pi mayúscla).

Isto se define asinas:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

O subendiz i indica una variable que recorre os numeros enteros dende un valor minimo (m, indicato en o subendiz) y un valor maximo (n, indicado en o superendiz).

Definición

A multiplicación de dos numeros enteros n y m s'expresa como:

$\sum _{k=1}^{n}m=mn$

Ista no ye mas que una traza de simbolizar a expresión "sumar m a sí mesmo n vegata". Puet facilitar a comprensión expandir a expresión anterior:

$m\cdot n=m+m+m+...+m$

tal que bi ha n sumandos. Asinas, por eixemplo:

$5\cdot 2=5+5=10$

$2\cdot 5=2+2+2+2+2=10$

$4\cdot 3=4+4+4=12$

$m\cdot 6=m+m+m+m+m+m=6m$

Propiedaz

Propiedat commutativa

Fendo servir ista definición, ye fácil contrimostrar bellas propiedaz intresants d'a multiplicación. Como indican os dos primers eixemplos, l'orden en que se multiplican dos numeros ye irrelevant, lo que se conoixe como propiedat commutativa, y se cumple en cheneral ta dos numeros cualsiquiera x y y:

$x\cdot y=y\cdot x$

Propiedat asociativa

A multiplicación también cumple a propiedat asociativa, que diz que, ta tres numeros cualsiquiera x, y, z, se cumple:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

En a notación alchebraica, os parentesis indican que as operacions adintro d'os mesmos han d'estar realizatas con preferencia a cualsiquier atra operación.

por eixemplo:

$(8\cdot 3)\cdot 2=8\cdot (3\cdot 2)\rightarrow 24\cdot 2=8\cdot 6\rightarrow 48=48$

Propiedat distributiva

A multiplicación tamién tien lo que se diz propiedat distributiva con a suma, porque:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

Asinas tamién:

$(x+t)\cdot (y+z)=x\cdot (y+z)+t\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z+t\cdot y+t\cdot z$

Elemento neutro

También ye d'intrés que cualsiquier numero multiplicato por 1 ye igual a sí mesmo:

$1\cdot x=x$

ye decir, a multiplicación tien un elemento neutro que ye l'1.

Zero

Respective a o cero, a definición inicial $\sum _{k=1}^{0}1$ no aduya muito porque 1 ye mayor que 0. De feito, ye mas fácil definir o producto por cero emplegando a segunda definición:

$m\cdot 0=m+m+m+...+m$

a on bi ha cero sumandos. A suma de cero vegatas m ye cero, asinas que

$''m''\cdot 0=0$

sin importar lo que valga m, siempre que sía finito.

Atra posibilidat ye emplegar a propiedat commutativa

$m\times 0=0\times m=\sum _{k=1}^{1}0=0$

Connexión con a cheometría

Dende un punto d'anvista purament cheometrico, a multiplicación entre 2 valors produce un aria que ye representable. D'a mesma traza o producto de 3 valors produce un volumen igualment representable. Y en cheneral o producto de cualsiquier numero de valors mayors de 0 produce un resultato cheometrico representable sía iste mas u menos intuitivo y mas u menos fácil de representar.

Producto de numeros negativos

O producto de numeros negativos tamién requiere parar cuenta un mica. en primeras, s'ha de considerar o numero -1. Ta cualsiquier entero positivo m:

$(-1)\cdot m=(-1)+(-1)+...+(-1)=-m$

Iste ye un resultato intresant que amuestra que cualsiquier numero negativo no ye mas que un numero positivo multiplicato por -1. Asinas que a multiplicación d'enters cualsiquiera se puet representar por a multiplicación d'enters positivos y factors -1. L'único que queda por definir ye o producto de (-1)(-1):

$(-1)\cdot (-1)=-(-1)=1$

D'os numeros enters a os numeros complexos

D'ista traza, se define a multiplicación de dos enters. As definicions pueden enamplar-se a conchuntos cada vegata mayors de numeros: primero o conchunto d'as fraccions u numeros racionals, dimpués a toz os numeros reals y ta rematar a os numeros complexos y atras extensions d'os numeros reals.

Definición recursiva

Una definición recursiva d'a multiplicación puet dar-se seguntes istas reglas:

$''x''\cdot 0=0$

$''x''\cdot ''y''=''x''+''x''\cdot (''y''-1)$

a on que x ye una cantidat arbitraria y y ye un numero natural. Una vegata o producto ye definito ta os numeros naturals, se puet enamplar a conchuntos mas granes, como ya s'ha dito anteriorment.

Calculo d'un producto

• Consideremos un aniello R y a categoría de R-módulos a ezquierda. En iste caso a suma dreita existe y ye unica. A construcción se puet fer d'a siguient traza: sía $(A_{i})_{i\in I}$ una familia de R-modulos a ezquierda, alavez $S:=\{(a_{i})_{i\in I}:a_{i}\in A_{i}$ y fueras d'un numero finito toz os ai son cero $\}$ y $f_{i}:A_{i}\to S$ ye a inclusión de Ai en a i-ésima coordenata.

A suma d'elementos de S ye coordenata a coordenata y o producto d'un elemento de R por un de S, tamién ye coordenata a coordenata.

• Un caso particular de l'anterior ye cuan R ye cuerpo, ye decir cuan somos en a categoría de espacios vectorials sobre un cuerpo dato. En iste caso, dato V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tals que $W\cap U=\{0\}$, podemos definir a suma dreita interna, denotata W \oplus U, como o subespacio chenerato por W y U. No ye dificil prebar que iste subespacio ye isomorfo a la suma dreita definita en o punto anterior.

Atros productos

• Producto de matrices: A multiplicación de matrices, que no tien propiedaz commutativas.

Se veiga tamién

• Inverso multiplicativo
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algorismo de Booth