Teoría de grupos

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As posibles manipolacions d'o cubo de Rubik forman un grupo.

A teoría de grupos ye a branca de l'alchebra que estudeya os grupos. Un grupo ye una estructura alchebraica que consta d'un conchunto que ye definito chunto con una operación que combina qualsiquier parella d'os suyos elementos ta formar un tercer elemento. Debito a que se pueden calificar como un grupo, o conchunto y operación han de satisfer unas quantas condicions ditas axiomas de grupo, istas condicions son: tener a propiedat asociativa, tener elemento identidat y elemento inverso. Mientres que istas caracteristicas son familiars a muitas estructuras matematicas, como os diferents sistemas de numers (por eixemplo os enters dotatos d'a operación d'adición forman una estructura de grupo) a formulación d'os axiomas se desepara d'a naturaleza concreta d'o grupo y o suyo funcionamiento. Ixo premite, en alchebra abstracta y altros campos, maniar entidatz d'orichens matematicos muit diferents d'una manera flexible, mientres se conservan aspectos estructurals esencials de muitos obchectos. A utilidat d'os grupos en numerosas arias (tanto adintro como difuera d'as matematicas) fa d'ells un prencipio central arredol d'o qualo s'organizan as matematicas contemporanias.[1][2]

Os grupos tienen una relación muit estreita con a noción de simetría. Un grupo de simetría codifica as caracteristicas de simetría d'un obchecto cheometrico: consiste en o conchunto de transformacions que dixan inalterato l'obchecto, y a operación de combinar dos d'istas transformacions realizando-ne una dimpués de l'atra. Istos grupos de simetría, mas que mas os grupos de Lie continos, chugan un papel important en muitas disciplinas academicas. Os grupos de matrices, por eixemplo, se pueden fer servir ta entender as leis fisicas fundamentals en que se basan a relatividat y os fenomens de simetria en a quimica molecular.

O concepto d'un grupo apareixió con o estudio d'as equacions polinomicas, prencipiato por Évariste Galois mientres os anyos 1830. Dimpués de contribucions dende atros campos como a teoría de numers y a cheometría, la noción de grupo se cheneralizó y s'establió ta cutio arredol de 1870. A moderna teoría de grupos (una disciplina matematica muit activa) estudeya os grupos per se.[3] Ta esplorar os grupos, os matematicos han ideyato diversas nocions como dividir os grupos en trozos mas chicotz y mas comprensibles, como los subgrupos, grupos cocients y grupos simples. Amás d'as suyas propiedatz abstractas, os teoricos d'os grupos tamién estudeyan as formas diferents en que un grupo se puet exprisar en forma concreta (as suyas representacions de grupo), tanto dende un punto d'anvista teorico como d'un punto d'anvista computacional. Una teoría muit rica s'ha desembolicato ta os grupos finitos, que remató con a clasificación d'os grupos simples finitos rematata en 1983.

Definición y ilustración[editar | editar código]

Un primer eixemplo: os enters[editar | editar código]

Un d'os grupos mas familiars ye o conchunto d'os numers enters Z que consiste en os numers

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[4]

As propiedatz siguients de l'adición d'enters sirven como modelo ta os axiomas de grupo abstractos que se dan en definición mas entabán.

  1. Ta qualsiquier parella d'enters a y b, a suma a + b ye tamién un entero. En atras parolas, o proceso d'adición d'enters nunca no puet producir un resultato que no sía un entero. Ista propiedat se conoixe como clausura respecto de l'adición.
  2. Ta totz os enters a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c). Exprisato en parolas, sumando primero a y b, y dimpués sumando lo resultato con c da o mesmo resultato final que sumando a a lo resultato de sumar b y c, ista propiedat se conoixe como propiedat asociativa.
  3. Si a ye un entero qualsiquiera, allora 0 + a = a + 0 = a. D'o zero se'n diz que ye o elemento neutro u identidat de l'adición porque en sumar-lo a qualsiquier entero da o mesmo entero.
  4. Ta cada entero a, bi ha un entero b tal que a + b = b + a = 0. O entero b se diz elemento inverso u simetrico d'o entero a y se denota −a.

Introducción[editar | editar código]

Os enters, chunto con a operación "+", forman un ochecto matematico que perteneixe a una clase ampla en la que bi ha atros obchectos que comparten aspectos estructurals similars. Ta entender bien istas estructuras sin tratar con cada caso concreto deseparato, se desarrolla la definición abstracta siguient que incluye l'eixemplo citato chunto con muitos atros, un d'os quals ye o grupo de simetría que se detalla mas entabant

Un grupo ye un conchunto, G, chunto con una operación binaria "•" que combina dos elementos qualsiquiera a y b de G ta formar unatro elemento denotato ab. O simbolo "•" ye un elemento cheneral ta representar una operación qualsiquiera, como l'adición en l'eixemplo anterior. Ta poder-se calificar como un grupo, lo conchunto y a operación (G, •), han de satisfer quatre requisitos conoixitos como los axiomas de grupo:[5]

1. Clausura. Ta tot a, b de G, o resultato d'a operación ab tamién perteneixe a G.[6]
2. Propietat asociativa. Ta totz a, b y c de G, se cumple a equación (ab) • c = a • (bc).
3. Elemento identidat. Existe un elemento e de G, tal que ta totz os elementos a de G, se cumple a equación ya = ay = a.
4. Elemento inverso. Per a tot a de G, existe un elemento b de G tal que ab = ba = y, a on que y ye l'elemento identidat.

L'orden en que se fa la operación de grupo puet estar significativo. En atras parolas, o resultato d'operar o elemento a con o elemento b no tien por qué dar o mesmo resultato que operando b con a; a equación

ab = ba

puet no estar siempre cierta. Ista equación siempre se cumple en o grupo d'enters con l'adición, porque a + b = b + a ta dos enters qualsiquiera (propiedat commutativa de l'adición). Manimenos, no se cumple siempre en o grupo de simetria que apareixe en l'eixemplo de más entabant. Os grupos ta os que a equación ab = ba se cumple siempre se dicen abelians (en honor a Niels Abel). Asinas, o grupo d'os enters con l'adición ye abelián, pero lo grupo de simetría siguient no'n ye.

Definición de grupo[editar | editar código]

Un grupo (G, \circ) ye un conchunto G en o que s'ha definito una lei de composición interna \circ que satisfa os siguients axiomas:

  1. Asociatividat: a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c, \forall a,b,c \in G
  2. Elemento neutro: \exists! e \in G : e \circ a=a \circ e=a
  3. Elemento simetrico: \forall a \in G\quad \exists! a^{-1} \in G : a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e

Por tanto, un grupo ye formato por un conchunto d'obchectos abstractos u simbolos, y por una lei de composición interna que los relaciona. Dita lei de composición interna indica como han d'estar manipulatos os obchectos d'o grupo.

Se diz que un grupo ye abelián u conmutativo quan berifica amás a propiedat conmutativa:

a \circ b = b \circ a \quad \forall a \in G

Notación[editar | editar código]

Se charra de notación aditiva quan se representa la lei de composición interna como "a + b", y l'elemento neutro como "0". D'atra man, a notación multiplicativa ye aquella en a que a lei de composición interna se representa como "a \cdot b", u "ab", y l'elemento neutro como "1".

Un segundo eixemplo: grupo de simetría[editar | editar código]

As simetrias (ye decir, as rotacions y as reflexions) d'un quadrato forman un grupo dito grupo diedrico, y se denota D4.[7] Tien as siguients simetrías:

Group D8 id.svg
id (dixar-lo como yera)
Group D8 90.svg
r1 (rotación de 90° a la dreita)
Group D8 180.svg
r2 (rotación de 180° a la dreita)
Group D8 270.svg
r3 (rotación de 270° a la dreita)
Group D8 fv.svg
fv (reflexión vertical)
Group D8 fh.svg
fh (reflexión orizontal)
Group D8 f13.svg
fd (reflexión diagonal)
Group D8 f24.svg
fc (reflexión contradiagonal)
Os elementos d'o grupo de simetría d'o quadrato (D4). Os vertices se debuixan y se numeran nomás ta visualizar as operacions.
  • A operación identidat que lo deixa tot tal como yera, denotata id;
  • rotacions d'o quadrato de 90° a la dreita, 180° a la dreita, y 270° a la dreita, denotatas r1, r2 y r3, respectivament;
  • reflexions respecto d'os exes vertical y horizontal (fv y fh), u respecto d'as dos diagonals (fd y fc).

Dos simetrías qualsiquiera a y b se pueden composar, ye decir aplicar una dimpués de l'atra. O resultato de fer primero a y dimpués b s'escribe simbolicament de cucha ta dreita como

ba ("aplicar a simetría b dimpués d'haber aplicato a simetría a". A notación de dreita ta cucha proviene d'a notación ta la composición de funcions).

A tabla de grupo a la dreita presenta os resultatos de totas as composicions posibles. Por eixemplo, chirar 270° a la dreita (r3) y dimpués fer una reflexión horizontal (fh) ye o mesmo que fer una reflexión a lo largo d'a diagonal (fd). Emplegando los simbolos citatos, apareixe en azul en a tabla de grupo:

fh • r3 = fd.
Tabla de grupo de D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Os elementos: id, r1, r2, y r3 forman un subgrupo, se puet veyer en royo (rechión d'a cucha superior). Una clase lateral cucha y dreita d'iste subgrupo se presenta en berde (en a zaguera ringlera) y amariello (zaguera columna), respectivament.

Datos istos conchuntos de simetrías y a operación descrita, os axiomas de grupo se pueden entender d'a manera siguient:

1. L'axioma de clausura necesita que a composición ba de dos simetrías qualsiquiera a y b sía tamién una simetría. Unatro eixemplo ta la operación de grupo ye
r3 • fh = fc,

ye decir chirar 270° a la dreita dimpués d'una reflexión horizontal ye igual a una reflexión a lo largo d'a contradiagonal (fc). En efecto cada dos combinacions de dos simetrías dan una simetría, como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo.

2. A condición d'asociatividat trata de composar más de dos simetrías: datos tres elementos a, b y c de D4, bi ha dos maneras posibles de calcular "a allora b allora c". O requisito
(ab) • c = a • (bc)

quiere decir que a composición d'os tres elementos ye independient d'a prioridat d'as operacions, ye decir, composando a con b, y dimpués c con ab equivale a fer a dimpués d'a composición de b y c. Por eixemplo (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo d'a dreita

(fd • fv) • r2  =  r3 • r2  =  r1, que ye igual á
fd • (fv • r2)  =  fd • fh  =  r1.
3. L'elemento identidat ye a simetría id que lo deixa tot inalterato: ta qualsiquier simetría a, realizando id dimpués de a (o a dimpués de id) ye igual a a, de forma simbolica,
id • a = a,
a • id = a.
4. n elemento inverso desfa la transformación de belatro elemento. Totas as simetrías se pueden esfer: cada una d'as transformacions: id, fh, fv, fd, fc y r2 son a suya propia inversa, porque actuando cadaguna dos vegatas levan o quadrato a la suya orientación orichinal. As rotacions r3 y r1 son a inversa una de l'atra, porque chirando enta un canto y dimpués o mesmo anglo enta l'atro canto deixa a lo quadrato inalterato. En simbolos,
fh • fh = id,
r3 • r1 = r1 • r3 = id.

A esferencia con o grupo d'enters anterior, a on que l'orden d'a operación ye irrelevant, en D4 sí que importa: fh • r1 = fc pero r1 • fh = fd. En atras parolas, D4 no ye abelián, ixo fa la estructura d'o grupo mas dificil que la d'os enters presentata antis.

Mas eixemplos[editar | editar código]

  • (\mathbb{Z},+), o conchunto de numers enters con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o 0, y o simetrico de x, ye -x.
  • (\mathbb{R},+), o conchunto d'os numers reals con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o 0, y o simetrico de x, ye -x.
  • (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot), o conchunto d'os numers reals (escluyendo a lo 0) con a multiplicación, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye l'1, y o simetrico de x ye 1/x. Cal parar cuena que en no tener o cero elemento simetrico multiplicativo, se debe excluyir.
  • O conchunto de totas as bicheccions d'un conchunto X - simbolizato por S(X) - chunto con a composición de funcions, ye un grupo no abelián (si a cardinalidat de X ye mayor que dos) y se diz grupo simetrico de X.
  • O conchunto de matrices rectangulars de dimensions n\times m con a suma, ye un grupo abelián.
  • O conchunto de matrices quadratas con determinant diferent de zero con a multiplicación (Grupo cheneral linial), no ye abelián.
  • As clases de homotopía de trachectorias continas S^1\to X en un espacio topolochico X forman un grupo no necesariament abelián. Ista construcción ye o grupo fundamental de X.
    • O grupo fundamental d'un cerclo (circle, cercle, Kreis) ye o grupo ciclico infinito; \mathbb{Z}.
    • O d'a esfera S^2 en ye trivial = 0.
    • D'un toro en ye \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}
    • D'un toro sin un disco en ye o grupo libre d'orden dos, F_2. D'un toro sin dos discos dischuntos; F_3.
    • D'o plan prochectivo en ye \mathbb{Z}_2
    • O d'a botella de Klein en tien a presentación; \langle a,b: aba=b\rangle y que corresponde a lo producto semidreito de \mathbb{Z} con \mathbb{Z}.

Operacions[editar | editar código]

Entre dos grupos G, H puet haber morfismos, por eixemplo funcions que son compatibles con as operacions en cada un d'ellos. Si \phi\colon G\to H ye un homomorfismo allora cumple que

\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\,

á on que emos preso a convención d'escribir ab ta indicar a operación d'a con b en G, e \phi(a)\phi(b) a operación d'\phi(a) con \phi(b) en H.

O conchunto \phi S ye un subgrupo en H quan S ye un subgrupo en G.

Si transformamos un conmutador: aba^{-1}b^{-1} s'otiene: \phi(aba^{-1}b^{-1})=\phi(a)\phi(b)(\phi(a))^{-1}(\phi(b))^{-1}.

Categoría de grupos[editar | editar código]

Dende o punto d'anvista d'a teoría de categorías, a teoría de grupos poderba catalogar-se como una categoría dita categoría de grupos, debito a que en ella s'estudeya a los grupos y os suyos morfismos. A categoría de grupos ye muit gran, pero puet armar-se una relación de equivalencia en ista categoría ta que se factorice: a relación entre grupos d'estar isomorfos reduce qüestions estructurals d'a categoría de grupos a la categoría de grupos-modulo-los-isomorfos. En ista reducción a operación d'unión dischunta la torna en una categoría monoidal.

Historia[editar | editar código]

As radices historicas d'a teoría de grupos son a teoría d'as equacions alchebraicas, a teoría de numers y a cheometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois estioron os investigadors que prencipioron ista sciencia. Galois ye reconoixito como lo primer matematico que relacionó ista teoría con a teoría de cuerpos resultando en a teoría de Galois. Atros importants matematicos en iste campo incluyen a Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Sylow entre muitos atros. Estió Walter von Dick qui en 1882, dió a moderna definición de grupo.

Conceptos basicos[editar | editar código]

Ta entender os grupos mas allá d'o nivel de meras manipulacions simbolicas como as d'alto, s'han d'emplegar mas conceptos estructurals.[8] Bi ha un prencipio conceptual subchacent a totas as nocions que siguen: aprofeitar a estructura ofierta por os grupos (que por eixemplo os conchuntos en estar "sin estructura" no tienen) as construccions relacionatas con os grupos han d'estar compatibles con a operación de grupo. Ista compatibilidat se manifiesta en as nocions siguients de diversas maneras. Por eixemplo, os grupos se pueden relacionar la un con l'atro por meyo de funcions ditas homomorfismos de grupo. Por o prencipio debantdito, se desiche que respeten as estructuras de grupo en un sentito preciso. A estructura d'os grupos tamién se puet entender dividindo-los en partis ditas subgrupos y grupos cocient. O prencipio de "conservar estructura" —un tema que se repite muito en matematicas— ye un eixemplo de treballar en una categoría, en iste caso a categoría de grupos.[9]

Homomorfismos de grupo[editar | editar código]

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Ta más detalles, veyer l'articlo homomorfismo de grupoveyer os articlos [[{{{2}}}]] y [[{{{3}}}]]veyer os articlos [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] y [[{{{6}}}]]veyer os articlos [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] y [[{{{10}}}]].

Os homomorfismos de grupo[8] son as funcions que conservan a estructura d'o grupo. Una función a: GH entre dos grupos ye un homomorfismo si a equación: a(gk) = a(g) • a(k) se cumple ta totz os elementos g, k de G, ye decir o resultato ye o mesmo tanto si se fa la operación de grupo debant como si se fa dimpués d'aplicar a función a. Iste requisito asegura que a(1G) = 1H, y tamién que a(g)−1 = a(g−1) ta tot g de G. Asinas un homomorfismo de grupo respecta tota la estructura de G proporcionata por os axiomas de grupo.[10]

Os grupos G y H se dicen isomorfos si existen homomorfismos de grupo a: GH y b: HG, tals que aplicando as dos funcions una dimpués de l'atra (en cada un d'os dos ordens posibles) dan a función identidat de G y H, respectivament. Ye decir, a(b(h)) = h y b(a(g)) = g} ta qualsiquier g de G y h de H. Dimpués d'un punto d'anvista abstracto, os grupos isomorfos levan a mesma información. Por eixemplo, contrimostrando que gg = 1 ta bell elemento g de G ye equivalent a contrimostrar que a(g) • a(g) = 1, porque aplicando a a la primera igualdat da la segunda, y aplicando b a la segunda da atra vegata la primera.

Subgrupos[editar | editar código]

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Ta más detalles, veyer l'articlo subgrupoveyer os articlos [[{{{2}}}]] y [[{{{3}}}]]veyer os articlos [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] y [[{{{6}}}]]veyer os articlos [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] y [[{{{10}}}]].

Informalment, un subgrupo ye un grupo H contenito adintro d'un grupo más gran,[11] Concretament, l'elemento identidat de G ye contenito en H, y siempre que h1 y h2 sían de H, allora tamién lo serán h1h2 y h1−1, asinas os elementos d'H, con a operación de grupo en G restrinchita a H, forman un grupo.

En o eixemplo d'entalto, a identidat y as rotacions constituyen un subgrupo R = {id, r1, r2, r3}, marcato en amariello en a tabla de grupo d'entalto: dos rotacions qualsiquieras composatas son tamién una rotación, y una rotación se puet esfer por (ye decir, ye inversa de) a rotación complementaria 270 ° por 90 °, 180 ° por 180 °, y 90 ° por 270 ° (se veiga que no se define rotación en a dirección oposata). O test de subgrupo ye una condición necesaria y suficient ta que un subconchunto H d'un grupo G sía un subgrupo: ye prou con comprebar que g−1hH ta totz os elementos g, hH. Conoixer os subgrupos ye important ta entender o grupo globalment.[12]

Dato qualsiquier subconchunto S d'un grupo G, o subgrupo chenerato por S consta de productos d'elementos de S y os suyos inversos. Iste ye o subgrupo más chicot de G que contiene S.[13] En o eixemplo d'entalto, o subgrupo chenerato por r2 y fv consta d'istos dos elementos, l'elemento identidat id y fh = fv • r2. Una atra vegata, ixo ye un subgrupo, porque combinando dos elementos qualsiquiera d'istos quatre u os suyos inversos (que son, en iste caso particular, istos mesmos elementos) dan un elemento d'iste subgrupo.

Clases laterals[editar | editar código]

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Ta más detalles, veyer l'articlo clase lateralveyer os articlos [[{{{2}}}]] y [[{{{3}}}]]veyer os articlos [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] y [[{{{6}}}]]veyer os articlos [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] y [[{{{10}}}]].

En muitas situacions ye deseyable considerar dos elementos de grupo como si fuesen o mesmo si a suya esferencia perteneixe a un subgrupo dato. Por eixemplo, en D4 definito entalto, una vegata que se realiza una reflexión, o quadrato nunca no torna a la confeguración de r2 aplicando nomás as operacions de rotación (y no atras reflexions), ye decir as operacions de rotación son irrelevants ta la qüestión de si s'ha realizato una reflexión. As clases laterals se fan servir ta formalizar ista observación: un subgrupo H define clases laterals por a cucha u a dreita, que se pueden entender como traslacions de H por un grupo g d'elementos arbitrario. En termins simbolicos, a clase lateral por a cucha y por a dreita de H que contienen g son

gH = {gh, hH} y Hg = {hg, hH}, respectivament.[14]

As clases laterals de qualsiquier subgrupo H forman una partición de G; ye decir, por eixemplo, dos clases laterals por a cucha u bien son iguals u bien tienen una intersección vueda y a unión de totas as clases laterals por a cucha da G.[15] O primer caso (que g1H = g2H) se da precisament quan g1−1g2H, ye decir si a diferencia entre os dos elementos ye un elemento de H. Consideracions similars s'aplican a las clases laterals d'H por a dreita. As clases laterals de H por a cucha y por a dreita de H pueden estar iguals u no. Si en son, ye decir ta tot g de G, gH = Hg, se diz que H ye un subgrupo normal. Allora se puet parlar simplament de N como lo conchunto d'as clases laterals.

En D4, o grupo de simetria emplegato en a introducción, as clases laterals por a cucha gR d'o subgrupo R que consiste en que as rotacions son u bien iguals a R, si g mesmo ye un elemento de R, u d'atra mán iguals a U = fvR = {fv, fd, fh, fc} (en verde). O subgrupo R tamién ye normal, porque fvR = U = Rfv y de forma parellana ta qualsiquier elemento diferent de fv.

Teoría cheometrica d'os grupos[editar | editar código]

Os más actuals temas d'investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas tecnicas de la topología. Una manera estándar de construir nuevos grupos a partir d'os conoixitos son los

  • productos libres,
  • productos libres amalgamatos y as
  • HNN-extensions.

A gran variedat de tecnicas topolochicas pueden ser aplicatas dende que se sape que ye posible construir siempre un espacio topolochico (de feito un CW-complexo dos-dimensional) de tal manera que o grupo fundamental d'iste espacio ye o grupo dato.

Referencias[editar | editar código]

  1. Herstein, 1975 §2, p. 26
  2. Hall, 1967 §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
  3. En Mathematical Reviews apareixen 3.224 articlos de rechira sobre teoría de grupos y as suyas cheneralizacions escritos en l'anyo l'any 2005
  4. Lang, 2005, App. 2, p. 360
  5. Herstein, 1975 §2.1, p. 27
  6. L'axioma de clausura ya viene implicito por a condición de que • sía una operación. Por ixo bells autors omiten iste axioma. Lang 2002
  7. Herstein, 1975 §2.6, p. 54
  8. 8,0 8,1 Se veigan, por eixemplo, os libros de Lang (2002, 2005) y Herstein (1996, 1975).
  9. Mac Lane 1998
  10. Lang 2005, §II.3, p. 34
  11. G.Lang 2005, §II.1, p. 19
  12. Manimenos, un grupo no ye determinato por o suyo rete de subgrupos. Se veiga Suzuki 1951.
  13. Ledermann 1973, §II.12, p. 39
  14. Lang 2005, §II.4, p. 41
  15. Lang 2002, §I.2, p. 12

Bibliografía[editar | editar código]

  • (en) Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics
  • Alexandroff, P. S.: Introducción a la Teoría de los Grupos, 1967, Buenos Aires, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132.
  • Adler, Irving: La Nueva Matemática, 1970, Buenos Aires, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven.