Teorema de Bayes

De Biquipedia
Ir ta: navego, busca

O teorema de Bayes ye un d'os teoremas mas emplegaus en a teoría d'a probabilitat. Formulau por Thomas Bayes ye una traza particular de relacionar dos probabilidatz ta contrimostrar a relación entre a probabilidat d'un escaiximiento condicionada a o succeso d'un segundo escaiximiento y a probabilidat d'iste segundo escaiximiento condicionada a o succeso d'o primero, ye decir, entre P(A|B) y P(B|A).

Siga  A_1, A_2,..., A_n una partición de l'espacio E y siga B un escaiximiento qualsiquiera. D'a expresión d'a probabilidat condicionada, si P(B) \neq 0, se defineixe a probabilidat d'ocurrencia d'o succeso A condicionada a B como

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)}

y nos da a probabilidat de A en que ya se sabe que s'ha verificau o succeso B y, por tanto,

 P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{\sum_{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i)} .

Ista traza de relacionar as probabilidatz condicionadas  P(A_i|B) y P(B|A_j) d'o primer y zaguer termins d'a igualdat ye muit util y se clama formula de Bayes.

Formas alternativas d'o teorema de Bayes[editar | editar código]

Teorema de Bayes ta funcions de densidat de probabilidat[editar | editar código]

I ha una versión d'o teorema de Bayes que se puet aplicar a variables aleatorias continas. A expresión d'ixa versión d'o teorema ye:

 f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!

u, de traza equivalent

 f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}.
\!

A nomenclatura ye a siguient: f(x, y) ye a función de densidat conchunta de X y Y, f(x|y) ye a densidat de X condicionada a Y=y (de vegadas tamién clamada distribución a posteriori de X), f(y|x) =  y f(x) i f(y) son as funcions de densidat marguinals de X y Y respectivament (de vegadas a f(x) se le diz distribución a priori de X).

En l'anterior nomenclatura anterior s'abusa liucherament d'a notación, ya que se fa servir f ta totz os termins, encara que cadaguno en realidat ye una función diferent. As funcions son de buen distinguir por o nombre d'os suyos argumentos.

Teorema de Bayes emplegando derivadas de Radon-Nykodim[editar | editar código]

I ha una versión cheneral d'o teorema de Bayes que ye valida ta variables aleatorias continas y discretas, igual como ta qualsiquier dos variables ta las quals diposemos d'a derivada de Radon-Nykodim d'a suya distribución de probabilidat respecto a una mesura sigma-finita.

Siga P_X a mesura de probabilitat de X,  \mu_X una mesura sigma-finita que domina a  P_X , y clamemos  f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X} a la derivada de Radon-Nykodim de P_X respecto a \mu_X. Definamos de traza analoga P_Y, \mu_Y y  f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} . Consideremos a mesura de probabilitat conchunta ta (X,Y), que ye dominada por a mesura producto \lambda=\mu_X \times \mu_Y , y clamemos  f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} . Alavez a derivada de Radon-Nykodim d'a mesura de probabilitat de X condicionada a la sigma-algebra orichinada por,  f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} , satisfá:

 f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} .

Si X y Y son variables aleatories discretas, ista formula ye equivalent a la versión orichinal d'o teorema de Bayes. Si tanto X como Y son variables aleatories continas, ista formula ye equivalent a la versión d'o teorema ta funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Manimenos, ista versión ye mas cheneral y se puet aplicar, por eixemplo, mesmo quan X ye contina y Y ye discreta.

Ista versión d'o teorema se puet cheneralizar ta o caso de tener mas de dos variables aleatorias. De feito, a cheneralización ye directa: nomás cal considerar que X y Y son vectors aleatorios en cuenta de variables aleatorias.